命题逻辑-1

-基本概念
-基本等价关系

真值:命题可以取一个值,称为真值。真值只有“真”和“假”两种,分别用“1”(“T”)和“0”(“F”)表示。
命题:具有确切真值的陈述句。


一切没有判断内容的句子,都不能作为命题。


原子命题:不能再分解为更简单的命题。
复合命题:可以分解为成简单的命题,与原子命题相对。
联结词:否定联结词(非),合取联结词(并且),析取联结词(或),蕴涵联结词(推理),等价联结词。


否定:真值结果取反
合取:P,Q同真才真,有假则假
析取:P,Q同假才假,有真则真
蕴涵:P真Q假时为假,否则为真
等价:PQ真值相同为真,否则为假


常值命题:真值不是“真”就是“假”,真值是确定的
命题变量:没有具体的真值,与常值命题相对
命题公式:其中的原子命题是命题变元,复合命题即为命题变元的”函数“,且该函数的真值仍为”真“或”假“
解释:设P1,P2,…,Pn时出现在公式G中的所有命题变元,指定P1,P2,…,Pn一组真值,则这组真值称为G的一个解释
真值表:由公式G在其所有可能的解释下所取的真值构成的表
永真公式:在所有的解释下真值都为”真“
永假公式(矛盾式):在所有的解释下真值都为”假“
可满足公式:非永假公式
等价:设G,H是两个命题公式,P1,P2,…,Pn是出现在G,H中所有的命题变元,如果对于P1,P2,…,Pn的2的n次方个真值组合的每一个解释,G与H的真值结果都相同,则称G,H等价,记作G=H


命题公式的基本等价关系:
1.幂等律
G∨G=G
G∧G=G
2.交换律
G∨H=H∨G
G∧H=H∧G
3.结合律
G∨(H∨S)=(G∨H)∨S
G∧(H∧S)=(G∧H)∧S
4.同一律
G∨0=G
G∧1=G
5.零律
G∨1=1
G∧0=0
6.分配律
G∨(H∧S)=(G∨H)∧(G∨S)
G∧(H∨S)=(G∧H)∨(G∧S)
7.吸收律
G∨(G∧H)=G
G∧(G∨H)=G
8.矛盾律
G∧¬G=0
9.排中律
G∨¬G=1
10.双重否定律
¬(¬G)=G
11.德摩根律
¬(G∨H)=¬G∧¬H
¬(G∧H)=¬G∨¬H
12.蕴含式
G→H=¬G∨H
13.假言易位
G→H=¬H→¬G
14.等价式
G↔H=(G→H)∧(H→G)=(¬G∨H)∧(¬H∨G)
15.等价否定等式
G↔H=¬G↔¬H
16.归谬论

(G→H)∧(G→¬H)=¬G

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